DSE Maths · Number and Algebra · 原創題型解析
DSE Maths 二次方程判別式題型解析（非官方題解）
參數題不必先把兩個根完全求出。先把方程整理成標準形式，以判別式描述根的情況，再把條件翻成參數範圍；最後用一個符合條件和一個不符合條件的數值驗算。
先釐清：這是原創題型解析，不是官方題解
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這類參數題考甚麼？
題目會以一個字母控制二次方程的係數，要求你判斷何時有兩個不同實根、一個重根，或沒有實根。重點不是背誦三個結論，而是把「根的數目」精準配對到判別式的等式或不等式。
| 題目語句 | 必須建立的條件 | 涉及章節 | 作答時要寫出 |
|---|---|---|---|
| 兩個不同實根 | Δ > 0 | 一元二次方程、實數根 | 代入 Δ = b² − 4ac，並解出嚴格不等式 |
| 一個重根 | Δ = 0 | 一元二次方程、因式分解 | 列等式、求參數，並可代回確認平方因式 |
| 沒有實根 | Δ < 0 | 一元二次方程、實數範圍 | 說明結論是「沒有實根」，不是「沒有解」 |
代表性原創參數題：先判斷根，再處理 p
題目：設 p 為實數。求 p 的範圍，使方程 x² − 2(p + 1)x + (p − 1)² = 0 有兩個不同實根。
- 辨認係數：a = 1、b = −2(p + 1)、c = (p − 1)²。這一步先把括號連同負號保留，避免把 b 誤寫成 2(p + 1)。
- 把題目語句翻成判別式條件：「兩個不同實根」表示 Δ > 0。
- 代入並逐行化簡：
Δ = [−2(p + 1)]² − 4(1)(p − 1)²
= 4(p + 1)² − 4(p − 1)²
= 4[(p² + 2p + 1) − (p² − 2p + 1)]
= 16p。 - 解參數不等式：16p > 0，所以 p > 0。由於 16 為正數，除以 16 時不等號方向不變。
用代入檢查結論，而不是只看最後一行
已得出 p > 0，現在各取一個正數、零和負數。這種核對可檢查你是否把「不同實根」誤當成「至少一個實根」。
| 代入的 p 值 | 方程與判別式 | 根的情況 | 是否符合 p > 0 |
|---|---|---|---|
| p = 2 | x² − 6x + 1 = 0，Δ = 32 | 兩個不同實根 | 符合 |
| p = 0 | x² − 2x + 1 = 0，Δ = 0 | 一個重根 | 不符合 |
| p = −1 | x² + 4 = 0，Δ = −16 | 沒有實根 | 不符合 |
常見失分位：每一個都會改變參數範圍
- 把「不同」漏掉：題目要求兩個不同實根時，條件是 Δ > 0；寫成 Δ ≥ 0 會把重根錯誤包括在答案內。
- 只平方 2，沒有平方整個 b：b 是 −2(p + 1)，所以 b² = [−2(p + 1)]²，而不是 −4(p + 1)。先加方括號可減少符號錯誤。
- 在展開平方差時遺漏負號：減去 (p − 1)² 時，括號內每一項都受減號影響；先完整寫括號，再合併同類項。
- 忘記先確認仍是二次方程：若參數位於 a，必須同時寫 a ≠ 0。例如 tx² − 4x + 1 = 0 在 t = 0 時已變成一次方程，不能用二次方程的根數結論處理。
兩題相似原創題與解法
相似題一：重根條件會給出兩個參數值嗎？
題目：求 m 的值，使 x² + (m − 3)x + m = 0 有一個重根。
解法：一個重根表示 Δ = 0。故 (m − 3)² − 4m = 0，整理得 m² − 10m + 9 = 0，即 (m − 1)(m − 9) = 0。因此 m = 1 或 m = 9。代回後分別是 (x − 1)² = 0 與 (x + 3)² = 0，兩個值都符合。
相似題二：二次項係數也含有參數時
題目：求 t 的範圍，使 tx² − 4x + 1 = 0 有兩個不同實根。
解法：先保留二次方程身分：t ≠ 0。再用 Δ > 0：16 − 4t > 0，得 t < 4。兩個條件要同時成立，因此答案是 t < 4 且 t ≠ 0。t = 0 雖使 16 − 4t 為正，但原式已不是二次方程，所以必須剔除。
相關概念：何時用判別式，何時改用其他工具？
若問題只問根的數目、實根與否或重根條件，判別式通常最快。若題目要求求出根的實際數值，仍要在 Δ 的基礎上使用因式分解、配方法或二次公式。從圖像看，Δ > 0、Δ = 0、Δ < 0 分別對應拋物線與 x 軸有兩個交點、相切或沒有交點；這是檢查結論的另一種語言，不是另一條公式。
計數機只用來核對，不代替條件推導
在 Casio fx-50FH II 或 3650P 的 Program 功能中，可把參數輸入值存作 A，計算 16A 來核對本例的判別式；例如 A = 2 應顯示 32，A = 0 應顯示 0。程式的輸出只驗證個別代入值，不能代替由 16p > 0 推得 p > 0 的不等式步驟。不同機型的編輯與執行操作請以該機說明書為準。
用 SENSEI 先查核概念，再自己完成計算
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