DSE Maths · Algebra
DSE Maths 一元二次方程完整筆記
解一元二次方程，不是背一條公式便足夠。先把式子整理清楚，再按係數與題目所問選擇方法；最後把每個根代回原式，才知道運算和符號是否一致。
先認清標準形式與解題目標
一元二次方程可寫成 ax² + bx + c = 0，其中 a ≠ 0。未知數只是一個，而最高次是二次；若 a = 0，便不再是一元二次方程。開始前應把等式一邊整理為 0，合併同類項，並標記 a、b、c。這一步尤其重要，因為公式中的 b 是連同正負號的係數。
「解方程」的目標是找出令左邊等於 0 的所有 x 值。題目若附有長度、時間或指定範圍等條件，代回原方程後還要再核對該條件；代數根未必都是情境中的可接受答案。
三種主要求根方法：何時使用？
| 方法 | 適合情況與步驟 | 常見注意點 |
|---|---|---|
| 因式分解 | 可拆成兩個一次因式時，寫成 (px + q)(rx + s) = 0，再用零乘積性質。 | 不可把兩項分別隨意等於 0；必須先得到「乘積為 0」。 |
| 配方法 | 把 x 的二次與一次項配成完全平方，能清楚展示式子的結構與頂點關係。 | 若先把二次項係數化為 1，等式另一邊也要同時除以該係數。 |
| 二次公式 | x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a，適合難以整齊分解、仍要精確求根的方程。 | 根號內的 b² − 4ac 是判別式；分母是整個 2a。 |
因式分解：先拆中間項，再使用零乘積性質
面對 ax² + bx + c，可先考慮 a × c，尋找兩個數：乘積是 ac、和是 b，然後拆開 bx 並分組。得到兩個一次因式後，才可令每個因式等於 0。若方程已有公因式，應先提出公因式。
例題一：以分組因式分解求根
解 6x² + x − 2 = 0。
- a × c = 6 × (−2) = −12；選 4 和 −3，因為 4 + (−3) = 1。
- 拆中間項：6x² + 4x − 3x − 2 = 0。
- 分組：2x(3x + 2) − 1(3x + 2) = 0。
- 提出共同因式：(2x − 1)(3x + 2) = 0。
- 因此 2x − 1 = 0 或 3x + 2 = 0，得到 x = 1/2 或 x = −2/3。
代回驗算：當 x = 1/2，6(1/2)² + 1/2 − 2 = 3/2 + 1/2 − 2 = 0；當 x = −2/3，6(−2/3)² − 2/3 − 2 = 24/9 − 6/9 − 18/9 = 0。
配方法：把二次式改寫成平方
對 x² + px 來說，加上 (p/2)² 便可組成 (x + p/2)²。記得這個「補上的數」必須在等式兩邊同時處理；配方法不是把一項憑空移到另一邊。
例題二：由淺入深完成平方
解 2x² + 8x − 10 = 0。
- 各項同除以 2：x² + 4x − 5 = 0。
- 移項：x² + 4x = 5。
- 4 的一半是 2，兩邊同加 2²：x² + 4x + 4 = 5 + 4。
- 化為平方：(x + 2)² = 9。
- x + 2 = ±3，所以 x = 1 或 x = −5。
代回驗算：x = 1 時，2(1)² + 8(1) − 10 = 0；x = −5 時，2(−5)² + 8(−5) − 10 = 50 − 40 − 10 = 0。
二次公式與判別式：角色不同，不要混為一談
二次公式直接求出根：x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a。其中 Δ = b² − 4ac 稱為判別式；它告訴你實根的數目和性質，但判別式本身不是求根方法。例如知道 Δ > 0，只知道有兩個不同實根，仍要以因式分解、配方法或二次公式找出它們。
例題三：用二次公式處理不能整齊分解的方程
解 2x² + 3x − 1 = 0。
- 辨認 a = 2、b = 3、c = −1。
- 判別式 Δ = 3² − 4(2)(−1) = 9 + 8 = 17。
- 代入公式：x = [−3 ± √17] / [2(2)]。
- 因此 x = (−3 + √17)/4 或 x = (−3 − √17)/4。
代回驗算：設 r = (−3 ± √17)/4（兩個符號要同取）。則 r² = (13 ∓ 3√17)/8，所以 2r² + 3r − 1 = (13 ∓ 3√17)/4 + (−9 ± 3√17)/4 − 4/4 = 0。兩個根均令原式成立。
判別式與根的性質
| 判別式情況 | 實根性質 | 可如何使用 |
|---|---|---|
| Δ > 0 | 兩個不同的實根。 | 可用於判斷「兩個不同根」的參數範圍。 |
| Δ = 0 | 一個重根，即兩根相同。 | 可令 b² − 4ac = 0 以建立參數方程。 |
| Δ < 0 | 沒有實根。 | 可排除要求與 x 軸相交或要求實數解的情況。 |
若 α、β 是 ax² + bx + c = 0 的兩根，則 α + β = −b/a，而 αβ = c/a。這兩個關係適合在不必逐個寫出根時使用，例如已知一根、求另一根，或由已知兩根建立方程。若兩根為 α、β，方程可寫成 a(x − α)(x − β) = 0；a 的非零倍數不會改變根。
至少先避開這七個常見錯誤
| 常見錯誤 | 為何不對 | 修正方法 |
|---|---|---|
| 未整理成等於 0 | 因式分解與二次公式的係數可能讀錯。 | 先移項、合併同類項，再標示 a、b、c。 |
| 把 Δ 當作答案 | Δ 只描述根的性質，通常不是 x 的值。 | 用 Δ 判斷後，再選求根方法或解參數條件。 |
| 把 b = −5 寫成 5 | 公式中的 −b 會由 5 誤成 −5；省略括號也容易把負數平方寫錯。 | 把 b 連同括號寫入：−(−5) 與 (−5)²。 |
| 公式分母只寫 2 | 公式的分母是 2a，不是 2。 | 先寫成分數線，再把 2a 整體代入分母。 |
| 漏掉 ± | 平方根方程可能有兩個根。 | 由 y² = k 寫成 y = ±√k，分別求兩個 x。 |
| 未得到乘積為 0 便分開求解 | 零乘積性質只適用於 pq = 0。 | 先完整因式分解為兩個因式的乘積等於 0。 |
| 只核對一個根或忽略範圍 | 另一根可能有符號錯誤，情境題也可能限制 x。 | 每個根均代回原式，並寫出是否符合題設條件。 |
DSE 常見設問與閱讀重點
下列是可用來溫習的常見設問，不代表任何一類必考，也不代替當年課程、試題或評分要求。
| 設問類型 | 解題起點 |
|---|---|
| 求解方程 | 整理為 0，按可否因式分解、配平方或二次公式選法。 |
| 判斷根的數目或重根條件 | 先列 Δ = b² − 4ac，再以 > 0、= 0、< 0 轉成條件。 |
| 已知一根、求另一根或係數 | 考慮 α + β = −b/a 與 αβ = c/a，必要時代回方程。 |
| 情境或圖像條件 | 先建立方程，再保留符合長度、時間或題設範圍的解。 |
想集中處理「參數令方程有兩個不同根、重根或沒有實根」的推理，可閱讀本站原創的判別式參數題解析；它不是考評局官方歷屆試題或官方評分參考。
把二次方程連回其他概念
若想重溫代數符號、因式分解或其他課題，可到Maths 課題筆記按主題整理。應用題中，位移公式經代入已知量後有時會變成關於時間的二次方程；這時除了求根，還要保留非負時間。可對照運動方程教學及Physics 課題筆記，分清代數步驟與物理條件。
下一步：先寫步驟，再用工具安排練習
先自行選一條方程，寫出你選哪一種方法、每個係數和最終代回。若要了解 AI 練習題生成器的使用方向，可前往相關頁面；功能狀態：該頁目前提供使用指引及練習平台入口，本頁不承諾即時生成、機器作文批改或自動評分。
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